Finding Common Ground | A

Question 1

Mystery Colours!

You might have noticed and wondered about these different circle designs around the page numbers on each page! The picture below shows all the designs for the numbers from 1 to 100.

Try to decode the colour scheme for each number. There are several interesting patterns here. Share your observations with your classmates. Extending this scheme, colour the page numbers from 101 – 110.

Solution

दो या दो से अधिक संख्याओं का HCF (Highest Common Factor) वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करती है। दो या दो से अधिक संख्याओं का LCM (Least Common Multiple) वह सबसे छोटी संख्या है जो उन सभी संख्याओं का एक गुणज है।

Step 1 — HCF ज्ञात करना

हम अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके HCF ज्ञात करेंगे। हम प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। फिर हम सभी संख्याओं में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों को चुनते हैं। हम इन उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात लेते हैं। हम इन सबसे छोटी घातों का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

उदाहरण के लिए, हम 12 और 18 का HCF ज्ञात करते हैं।

12 के अभाज्य गुणनखंड हैं: $12 = 2 \times 2 \times 3$ $12 = 2^2 \times 3^1$

18 के अभाज्य गुणनखंड हैं: $18 = 2 \times 3 \times 3$ $18 = 2^1 \times 3^2$

उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। 2 की सबसे छोटी घात $2^1$ है। 3 की सबसे छोटी घात $3^1$ है।

HCF (12, 18) है: $HCF (12, 18) = 2^1 \times 3^1$ $= 2 \times 3$

$\boxed{6}$

Diagram 1

Step 2 — LCM ज्ञात करना

हम अभाज्य गुणनखंड विधि का उपयोग करके LCM ज्ञात करेंगे। हम प्रत्येक संख्या के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करते हैं। फिर हम सभी संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों को चुनते हैं। हम इन अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात लेते हैं। हम इन सबसे बड़ी घातों का गुणनफल ज्ञात करते हैं।

उदाहरण के लिए, हम 12 और 18 का LCM ज्ञात करते हैं।

12 के अभाज्य गुणनखंड हैं: $12 = 2^2 \times 3^1$

18 के अभाज्य गुणनखंड हैं: $18 = 2^1 \times 3^2$

सभी अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। 2 की सबसे बड़ी घात $2^2$ है। 3 की सबसे बड़ी घात $3^2$ है।

LCM (12, 18) है: $LCM (12, 18) = 2^2 \times 3^2$ $= 4 \times 9$

$\boxed{36}$

Diagram 2

Step 3 — HCF और LCM के बीच संबंध

दो संख्याओं के लिए, उनके HCF और LCM के बीच एक विशेष संबंध होता है। दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।

मान लीजिए दो संख्याएँ 'a' और 'b' हैं। तो, $a \times b = HCF (a, b) \times LCM (a, b)$ ।

हम 12 और 18 के लिए इसकी जाँच करते हैं। संख्याओं का गुणनफल है: $12 \times 18 = 216$

HCF और LCM का गुणनफल है: $HCF (12, 18) \times LCM (12, 18) = 6 \times 36$ $= 216$

दोनों गुणनफल बराबर हैं। यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है।

Diagram 3

Answer

(i) HCF (Highest Common Factor) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं को पूरी तरह से विभाजित करती है। (ii) LCM (Least Common Multiple) वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज है। (iii) दो संख्याओं का गुणनफल उनके HCF और LCM के गुणनफल के बराबर होता है।